logo
telefony

Powiedz znajomemu o analizie matematycznej!




Nazwa działuCenaOkres działania
Granica ciągu
  • Największa potęga
  • Sprzężenie
  • Trzy ciągi
  • Liczba e
36.9 zł6 miesięcy
Kup więcej

 

Objerzyj przykładową lekcję z działu
Granica ciągu

przykładowa lekcja

  

  

Granica ciągu

Informacje dodatkowe do lekcji

(Poniższe informacje w znacznym stopniu mogą się przyczynić do zrozumienia omawianych tematów oraz wpłynąć na poszerzenie wiedzy zdobytej w lekcjach on-line).

 

Granica ciągu.

 

Pierwszym bardzo ważnym działem analizy matematycznej jest granica ciągu. Zadania z granic ciągu są powszechnie znane i często spotykane na kolokwiach i egzaminach. Zanim zaczniemy liczyć jakąkolwiek granicę, obojętnie czy ciągu czy funkcji, zawsze najpierw musimy sprawdzić, co mamy po podstawieniu wartości z granicy. Bardzo często okazuje się, że mamy już gotowy wynik, dlatego że po podstawieniu nie było wyrażenia nieoznaczonego. Jeżeli po podstawieniu naszego limesa do granicy widzimy, że mamy wyrażenie nieoznaczone to musimy zastosować szereg różnych przekształceń (w zależności od zadania – takie przekształcenie), aby uzyskać granice oznaczoną, którą będziemy mogli policzyć bez większych problemów. Do liczenia granic ciągu będziemy stosowali różne przekształcenia/metody/wzory typu: największa potęga, sprzężenie, trzy ciągi czy liczba e.

 

Wyrażenia nieoznaczone.

 

Są to takie wyrażenia, których granicy (po podstawieniu do naszego szukanego ciągu) nie jesteśmy pewni, mówiąc prościej - nie umiemy policzyć, nie wiemy ile wynoszą.

 

Dlaczego te wyrażenia są nieoznaczone?

 

1. Nieskończoność minus nieskończoność. Wiemy o tym, że symbol nieskończoności jest w analizie matematycznej bardzo abstrakcyjny i wielu z nas ma problem z pojęciem tego wyrażenia. W naszym wyrażeniu nieoznaczonym musimy odjąć dwie nieskończoności od siebie. Jak to zrobić? O co tu chodzi? Wiele osób podała by wynik zero. Otóż nie! Spróbujmy temu podołać. Jeżeli Jaś wymyśli sobie bardzo dużą liczbę i jeżeli Olek też wymyśli sobie bardzo dużą liczbę, następnie odejmiemy te liczby od siebie, to na pewno nie będzie to zero. Dlatego, że dla Jasia nieskończoność ma inny wymiar niż dla Olka. I teraz musimy to przełożyć na analizę. Tak naprawdę nieskończoność to liczba która cały czas jest inna. Nie wiemy, która nieskończoność jest większa, dlatego nie znamy wyniku takiego odejmowania. Aby policzyć granicę ciągu tej nieoznaczoności musimy skorzystać ze sprzężenia. W wyniku tej granicy możemy mieć dowolną liczbę rzeczywistą.

 

2. Zero x nieskończoność. Kolejne wyrażenie nieoznaczone. Aby wiedzieć, dlaczego w ogóle jest to symbol nieoznaczony, musimy skupić się na samym zerze. W granicach zero to jest taka liczba, która niekoniecznie wynosi zero, ale raczej jest to wartość około zera, czyli np. 0,000001 lub 0,00000000002 lub – 0,0000000001 (oczywiście to tylko przykłady). Czyli zero jest to bardzo mała liczba leżąca około zera. Tak więc jeżeli taką bardzo małą dodatnią liczbę pomnożymy przez nieskończoność to w wyniku otrzymamy jeszcze mniejszą liczbę, jeszcze bardziej bliższą zeru - ale dodatnią. Jeżeli teraz weźmiemy ujemną liczbę bliską zeru i pomnożymy ją przez nieskończoność to otrzymamy jeszcze mniejszą liczbę bliższą zeru, ale ujemną. Czyli podsumowując: Jeżeli zero pomnożymy przez nieskończoność to możemy dostać różne wyniki w zależności od znaku zera (tej naszej małej liczby zbliżonej do zera).

 

3. Zero / zero. Podobnie jak wyżej. Wyrażenie nieoznaczone. Wynik z dzielenia dwóch zer nie jest znany dlatego, że jeżeli w liczniku będziemy mieli liczbę bliską zeru, czyli np. 0,0000001, a w mianowniku np. 0,0000002, to już widzimy, że wynik takiej granicy ciągu wynosić będzie ½. Możemy zauważyć, że w wynikach granic 0/0 możemy spodziewać się różnych wartości.

 

4. Nieskończoność / nieskończoność. Sytuacja podobnie jak w punkcie pierwszym. Nie wiemy tak naprawdę, która z nieskończoności jest większa, a która mniejsza. Jeżeli Jaś wymyśli sobie liczbę 2.000.000, bo dla niego to jest bardzo dużo, a Olek 4.000.000 to widzimy, że wynik jest ściśle określony przez rozumienie nieskończoności w tym wypadku przez Jasia i Olka. W zależności od wartości ciągów w nieskończoności, to taki będzie wynik całego ciągu.

 

5. Jeden do nieskończoności. Wiele osób od razu odpowiedziałoby na te pytanie - jeden. Lecz tutaj musimy się bliżej przyjrzeć jedynce. W granicach nie ma wartości ściśle określonych. Jeżeli mówimy o jakiejś konkretnej liczbie, to powinniśmy bardziej myśleć o jej otoczeniu. Czyli musimy zakładać, że nasza liczba to nie jest tylko ta konkretna wartość, ale również jej pewne małe odchylenie (zarówno w górę jak i w dół). Np. jedynka to też liczby: 1,000000001 lub 1,0000002 lub 0,999999999 lub 0,9999999999998. Jeżeli mamy do policzenia granicę ciągu z jedynki do nieskończoności, to widzimy, że 1,0000001 do potęgi nieskończonej wynosi nieskończoność, a 0,999999999 do potęgi nieskończonej wynosi zero. Dlatego wyrażenie te jest nieoznaczone, bo w zależności od otoczenia jedynki wynik tej granicy może wynosić zero lub nieskończoność.

 

6. Nieskończoność do zerowej. Nieskończoność to pewna liczba, a każda liczba do potęgi zerowej to jeden. Zgadza się, ale znowu wszystko psuje nam zero. Załóżmy że Jasio wymyślił sobie dużą liczbę 2.000. Jeżeli przyjmiemy, że nasze zero to wartość 0,000000001 i do tej potęgi podniesiemy liczbę Jasia, to otrzymamy wynik delikatnie powyżej jedynki. I teraz tą samą liczbę podniesiemy do potęgi -0,000000001. Widzimy że minus w potędze odwróci nam liczbę i będziemy mieli jedynkę dzieloną przez liczbę z pierwszej operacji (wtedy, gdy podnosiliśmy do potęgi 0,000000001). W drugim przypadku wynikiem granicy będzie liczba nieco mniejsza od jedynki.

 

7. Zero do zerowej. Podobnie jak w przypadkach wyżej. Nie wiemy ile dokładnie wynoszą nasze zera, mówiąc prościej nie wiemy jakiego są znaku. Ten fakt sprawia, że jest to granica z wyrażeniem nieoznaczonym.

 

W przypadku punktów 5,6 i 7 musimy zauważyć że mamy tutaj do czynienia z ciągiem do potęgi ciągu. Aby policzyć taką granicę musimy skorzystać z własności liczby e oraz ze wzoru na ciąg do potęgi ciągu.

 

Przykładowe screeny zadań z działu granica ciągu:

granica ciągu - największa potęga

granica ciągu - sprzężenie

granica ciągu - trzy ciągi

granica ciągu - liczba eulera

 

Opracowując ten kurs mieliśmy na uwadze specyfikę zadań egzaminacyjnych. Kurs jasno pokazuje, jak zidentyfikować zadanie i skojarzyć z nim odpowiednią metodę obliczeń.

Zapraszamy do obejrzenia lekcji analizy matematycznej on-line: Granica ciągu

  • Każdy dział zawiera jedną darmową lekcję.