
Liczba e
Informacje dodatkowe do lekcji
(Poniższe informacje w znacznym stopniu mogą się przyczynić do zrozumienia omawianych tematów oraz wpłynąć na poszerzenie wiedzy zdobytej w lekcjach on-line).
Granica ciągu: Liczba e.
Podstawa logarytmu naturalnego (inaczej liczba Eulera lub liczba Nepera) w przybliżeniu wynosi e ≈ 2,71828182845904523536... Bardzo często zadania z granicy ciągu z liczbą e wykorzystuje się na kolokwiach lub egzaminach. Jest nierozerwalną częścią analizy matematycznej, a konkretnie granicy ciągu - mówiąc o granicach nie można pominąć liczby e.
Aby poprawnie wyliczyć granicę ciągu z liczby e proponuję zastosować następujące kroki:
1. Na początku musimy całe nasze wyrażenie w nawiasie sprowadzić do jedynki. Bardzo często dany ciąg jest zapisany za pomocą kreski ułamkowej i nie widać jej od razu.
2. Gdy już będziemy mieli jedynkę, w musimy wtedy sprawdzić znak – plus. Jeżeli mamy minus to musimy go wpisać do licznika naszego ułamka i automatycznie przed nim zmienić znak na plus.
3. Do potęgi wpisujemy to co znajduje się pod kreską ułamkową. Jeżeli chcemy skorzystać z własności liczby e (policzyć tą granicę) to w potędze musimy mieć dokładnie to samo wyrażenie, co pod kreską ułamkową.
4. Wyrównujemy potęgę. Wiadomo, że zmieniliśmy potęgę po to, aby otrzymać liczbę e. W kolejnym kroku musimy więc zmieniać n w potędze operacjami dzielenia i mnożenia tak, aby wyrównać naszą potęgę z tym co było wcześniej. Żeby zmienić liczby musimy zastosować operacje dodawania lub odejmowania. Podsumowując operacje w potędze: n zmieniamy mnożąc lub dzieląc, a liczby dodając lub odejmując. Oczywiście w taki sposób, aby w potędze otrzymać dokładnie takie samo wyrażenie co wcześniej. Myślę, że wśród zadań z przykładów wyjaśnione to jest o wiele łatwiej i przede wszystkim obrazowo :).
Historia i ciekawostki: Analiza matematyczna – Granica ciągu - Liczba e.
W celu zapamiętania kolejnych cyfr dziesiętnych liczby e tworzone są wierszyki, a nawet opowiadania (podobnie jak o liczbie π), w których długość każdego kolejnego słowa równa się kolejnej cyfrze w rozwinięciu dziesiętnym liczby e:
"We present a mnemonic to memorize a constant so exciting that Euler exclaimed: '!' when first it was found, yes, loudly '!'. My students perhaps will compute e, use power or Taylor series, an easy summation formula, obvious, clear, elegant!"
- Gdzie znak "!" oznacza cyfrę 0.
Opracowując ten kurs mieliśmy na uwadze specyfikę zadań egzaminacyjnych. Kurs jasno pokazuje, jak zidentyfikować zadanie i skojarzyć z nim odpowiednią metodę obliczeń.
Zapraszamy do obejrzenia lekcji analizy matematycznej on-line: Liczba e