Liczba e

Informacje dodatkowe do lekcji

(Poniższe informacje w znacznym stopniu mogą się przyczynić do zrozumienia omawianych tematów oraz wpłynąć na poszerzenie wiedzy zdobytej w lekcjach on-line).

Granica ciągu: Liczba e.

Podstawa logarytmu naturalnego (inaczej liczba Eulera lub liczba Nepera) w przybliżeniu wynosi e ≈ 2,71828182845904523536... Bardzo często zadania z granicy ciągu z liczbą e wykorzystuje się na kolokwiach lub egzaminach. Jest nierozerwalną częścią analizy matematycznej, a konkretnie granicy ciągu - mówiąc o granicach nie można pominąć liczby e.

Aby poprawnie wyliczyć granicę ciągu z liczby e proponuję zastosować następujące kroki:

1. Na początku musimy całe nasze wyrażenie w nawiasie sprowadzić do jedynki. Bardzo często dany ciąg jest zapisany za pomocą kreski ułamkowej i nie widać jej od razu.

2. Gdy już będziemy mieli jedynkę, w musimy wtedy sprawdzić znak – plus. Jeżeli mamy minus to musimy go wpisać do licznika naszego ułamka i automatycznie przed nim zmienić znak na plus.

3. Do potęgi wpisujemy to co znajduje się pod kreską ułamkową. Jeżeli chcemy skorzystać z własności liczby e (policzyć tą granicę) to w potędze musimy mieć dokładnie to samo wyrażenie, co pod kreską ułamkową.

4. Wyrównujemy potęgę. Wiadomo, że zmieniliśmy potęgę po to, aby otrzymać liczbę e. W kolejnym kroku musimy więc zmieniać n w potędze operacjami dzielenia i mnożenia tak, aby wyrównać naszą potęgę z tym co było wcześniej. Żeby zmienić liczby musimy zastosować operacje dodawania lub odejmowania. Podsumowując operacje w potędze: n zmieniamy mnożąc lub dzieląc, a liczby dodając lub odejmując. Oczywiście w taki sposób, aby w potędze otrzymać dokładnie takie samo wyrażenie co wcześniej. Myślę, że wśród zadań z przykładów wyjaśnione to jest o wiele łatwiej i przede wszystkim obrazowo :).

Historia i ciekawostki: Analiza matematyczna – Granica ciągu - Liczba e.

W celu zapamiętania kolejnych cyfr dziesiętnych liczby e tworzone są wierszyki, a nawet opowiadania (podobnie jak o liczbie π), w których długość każdego kolejnego słowa równa się kolejnej cyfrze w rozwinięciu dziesiętnym liczby e:

"We present a mnemonic to memorize a constant so exciting that Euler exclaimed: '!' when first it was found, yes, loudly '!'. My students perhaps will compute e, use power or Taylor series, an easy summation formula, obvious, clear, elegant!"

Gdzie znak "!" oznacza cyfrę 0.

Opracowując ten kurs mieliśmy na uwadze specyfikę zadań egzaminacyjnych. Kurs jasno pokazuje, jak zidentyfikować zadanie i skojarzyć z nim odpowiednią metodę obliczeń.

Zapraszamy do obejrzenia lekcji analizy matematycznej on-line: Liczba e

• Każdy dział zawiera jedną darmową lekcję.