logo
telefony

Powiedz znajomemu o analizie matematycznej!




Nazwa działuCenaOkres działania
Granica ciągu
  • Największa potęga
  • Sprzężenie
  • Trzy ciągi
  • Liczba e
50 zł6 miesięcy
Kup więcej

 

Objerzyj przykładową lekcję z działu
Granica ciągu

przykładowa lekcja

  

  

Trzy ciągi

Informacje dodatkowe do lekcji

(Poniższe informacje w znacznym stopniu mogą się przyczynić do zrozumienia omawianych tematów oraz wpłynąć na poszerzenie wiedzy zdobytej w lekcjach on-line).

 

Granica ciągu: Twierdzenie o trzech ciągach.

Kolejne bardzo ważne zagadnienie analizy matematycznej. Jeżeli mamy granicę, w której jeden z elementów w nieskończoności nie istnieje, to na pewno wiemy, że, aby policzyć taką granice ciągu, musimy skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach. Jeżeli ograniczymy dany ciąg, ciągiem większym i mniejszym, a następnie policzymy granicę tych ciągów pobocznych i wyniki ich będą takie same, to wiemy, że granica naszego szukanego ciągu istnieje i wynosi tyle samo ile granica tych ciągów pobocznych.

Przy wyliczaniu granicy ciągu z twierdzenia o trzech ciągach napotkać możemy następujące przypadki granic:


1. Jeżeli w danej granicy ciągu występuje element sinn, albo (-1)n to wiemy, że granica w nieskończoności tych ciągów nie istnieje, ponieważ w pierwszym przypadku w zależności od n wynik granicy leży pomiędzy -1 a 1. W drugim przypadku w zależności od n wynosi -1 lub 1. Dlatego nie możemy policzyć od razu takiej granicy ciągu, tylko musimy skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach. Te elementy, które sprawiają, że nasza granica jest nie do policzenia musimy sobie ograniczyć. Jak? Otóż w bardzo prosty sposób. Wystarczy, że wiemy, jakie wartości przyjmują te elementy w nieskończoności. Największa wartość, jaką może przyjąć sinn i (-1)n to 1, a minimalna to -1. Wystarczy więc, że po prawej stronie ograniczenia naszego ciągu za sinn lub (-1)n wstawimy wartość największą jaką mogą przyjąć - czyli 1, a z lewej minimalną czyli -1. Po wyeliminowaniu elementów sinn i (-1)n możemy bez problemu policzyć granicę z największej potęgi. Czyli widzimy, że dla powyższych przypadków te elementy nie wpływają na wynik granicy, gdyż dla bardzo dużych n elementy te wynoszą nadal 1 lub -1.


2. Jeżeli mamy do czynienia z pierwiastkiem stopnia n to jest to kolejny przykład ciągu, który rozwiążemy za pomocą twierdzenia o trzech ciągach. Na początku należy znaleźć największy element pod pierwiastkiem. Następnie, aby znaleźć ciąg większy, musimy tyle razy podstawić największy element pod pierwiastek, ile jest elementów pod naszym pierwiastkiem, aby znaleźć mniejszy podstawiamy tylko jeden raz największy element. Dlatego największy element, gdyż tylko największe elementy stanowią o granicy ciągu.


3. Jeżeli mamy sumę nieskończonych elementów, żeby znaleźć ciąg większy od szukanego, musimy wybrać największy element całej danej sumy i wpisać go po prawej stronie naszego ciągu. Należy zwrócić uwagę na fakt, iż jednym wybranym elementem zastępujemy wszystkie pozostałe co znaczy, że, aby ten nasz ciąg był podobny, musimy dopisać mu jeden n w liczniku, który będzie zastępował całą sumę poszczególnych elementów. Mówiąc prosto: mamy n elementów to musimy dopisać n w liczniku. Aby znaleźć ciąg mniejszy, wybieramy najmniejszy element naszej sumy i, podobnie jak wcześniej, dopisujemy n w liczniku, zastępując w ten sposób całą sumę elementów. Mając taki układ, możemy już bez problemu obliczyć granice lewej i granice prawej strony.


Twierdzenie o trzech ciągach bardzo ułatwia liczenie granic z symbolami nieoznaczonymi. Nieoznaczone elementy w łatwy sposób możemy ograniczyć, a co za tym idzie, bez problemu możemy policzyć granice ciągu. Zadania z granic o trzech ciągach są istotną częścią analizy matematycznej wykładanej na uczelniach wyższych. Zadań tego typu zawsze możemy się spodziewać na kolokwium czy egzaminie z przedmiotu analiza matematyczna.

Historia i ciekawostki: Analiza matematycznaGranica ciągu - Twierdzenia o trzech ciągach.


Analogiczne twierdzenie można udowodnić także dla funkcji; znane jest ono pod nazwą twierdzenia o trzech funkcjach.

Intuicyjnie jasne, twierdzenie to było stosowane w formie geometrycznej już przez Archimedesa i Eudoksosa. Obecną formę nadał mu Gauss.

Żartobliwie o twierdzeniu o trzech ciągach mówi się "twierdzenie o milicjantach". Sformułowane zostało podczas stanu wojennego w Polsce (1981-1983). Brzmi ono następująco: jeśli idziesz między dwoma milicjantami zmierzającymi do tego samego komisariatu, to też tam trafisz. We Włoszech, twierdzenie o trzech ciągach nosi nazwę "twierdzenia o karabinierach".

 

Opracowując ten kurs mieliśmy na uwadze specyfikę zadań egzaminacyjnych. Kurs jasno pokazuje, jak zidentyfikować zadanie i skojarzyć z nim odpowiednią metodę obliczeń.

Zapraszamy do obejrzenia lekcji analizy matematycznej on-line: Trzy ciągi

  • Każdy dział zawiera jedną darmową lekcję.