logo
telefony

Powiedz znajomemu o analizie matematycznej!




Nazwa działuCenaOkres działania
Granica i ciągłość funkcji
  • Twierdzenia arytmetyki
  • Podstawowe wyrażenia nieoznaczone
  • Asymptoty I
  • Asymptoty II
  • Asymptoty III
  • Ciągłość funkcji
50 zł6 miesięcy
Kup więcej

 

Objerzyj przykładową lekcję z działu
Granica i ciągłość funkcji

przykładowa lekcja

  

  

Asymptoty I

Informacje dodatkowe do lekcji

(Poniższe informacje w znacznym stopniu mogą się przyczynić do zrozumienia omawianych tematów oraz wpłynąć na poszerzenie wiedzy zdobytej w lekcjach on-line).

 

Granica funkcji: Asymptoty.

 

Asymptota krzywej to prosta, do której coraz bardziej zbliża się dana krzywa, gdy wzdłuż niej się przemieszczamy. W dostatecznie odległych punktach, krzywa prawie pokrywa się ze swoją asymptotą. Tak pokrótce można wyjaśnić pojęcie asymptoty funkcji.

 

Bardzo ważnym elementem potrzebnym do prawidłowego wyliczenia asymptot jest dziedzina funkcji. Aby znaleźć asymptotę pionową musimy wziąć pod uwagę punkty, które wypadają z dziedziny funkcji. Jeżeli na samym początku źle wyznaczymy dziedzinę funkcji, to źle policzymy asymptotę pionową. Weźmy funkcję, która w mianowniku ma: x-1. Widzimy, że dziedziną tej funkcji jest cały zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem jedynki. Aby policzyć asymptotę pionową należy zbadać otoczenie punktu jeden, czyli musimy policzyć granicę z lewej i prawej strony naszej funkcji. Jeżeli w wynikach granic dostaniemy nieskończoności, znaczy to, że funkcja ma asymptotę pionową lewo- i prawostronną w punkcie jeden. Następnie zajmiemy się asymptotą ukośną. Asymptota ukośna to nic innego jak prosta: y = Ax + B. Aby znaleźć równanie tej asymptoty musimy policzyć A i B. Asymptoty ukośnej będziemy szukali w minus i plus nieskończoności. Po wyliczeniu współczynników mamy równanie asymptoty ukośnej. Jeżeli A będzie równe zero, to y = B - wtedy mamy do czynienia z asymptotą poziomą.

 

Podsumowując: asymptotę pionową szukamy w punktach, które wypadają z dziedziny, czyli liczymy granicę lewo i prawostronną od naszego punktu podejrzanego. Jeżeli wyjdzie plus lub minus nieskończoność to znaczy, że asymptota pionowa istnieje, jeżeli po wyliczeniu granicy wyjdzie punkt – znaczy, że asymptota pionowa nie istnieje. Asymptota ukośna: liczymy granicę w nieskończoności, muszą wyjść punkty. Jeżeli A = 0 wtedy nie mamy asymptoty ukośnej, tylko poziomą. Przy wyliczaniu współczynników A i B liczymy granicę gdzie x dążą do nieskończoności. W większości przykładów możemy wyliczać te współczynniki jednocześnie. Musimy jednak uważać na funkcje typu e do x lub liczba do potęgi x. W takim przypadku musimy wyliczać oddzielnie współczynnik A w plus nieskończoności, a następnie w minus nieskończoności. Podobnie z wyliczeniem B. Dlaczego tak? Musimy zwrócić uwagę na to, co się dzieje z liczbą podniesioną do nieskończoności lub do minus nieskończoności. W pierwszym przypadku wynikiem jest nieskończoność, a w drugim zero. W zadaniach tego typu zazwyczaj mamy dwie asymptoty poziome. Kolejnym przykładem funkcji, gdzie oddzielnie musimy liczyć A i B z lewej i z prawej strony jest arctgx i arcctgx. W nieskończoności arctgx wynosi pi/2, a w minus nieskończoności -pi/2. Jeżeli chodzi o arcctgx to w nieskończoności wynosi zero, a w minus nieskończoności pi. Podobnie jak wyżej, przy tych funkcjach również wychodzą dwie asymptoty poziome. Oczywiście jeszcze jedna uwaga odnośnie asymptot poziomych i ukośnych: obydwie się wykluczają. Wynika to z dowodów omawianych wcześniej, że jak A=0 to zostaje tylko B.

 

Opracowując ten kurs mieliśmy na uwadze specyfikę zadań egzaminacyjnych. Kurs jasno pokazuje, jak zidentyfikować zadanie i skojarzyć z nim odpowiednią metodę obliczeń.

Zapraszamy do obejrzenia lekcji analizy matematycznej on-line: Asymptoty

  • Każdy dział zawiera jedną darmową lekcję.